Borges y las matemáticas

Mes Borges

En general, especialmente en los ámbitos de la enseñanza, a ciertas disciplinas se las perciben y entienden como antagónicas. Quizás el caso más emblemático de lo que decimos sea el binomio Lengua – Matemática. Muchos dan por sobreentendido que esas materias no tienen nada que ver y sus transmisores hasta se espantan cuando alguien los interpela al respecto. Los de lengua suelen poner caras de terror cuando se les habla del mundo de los números y los de matemática suelen apartarse a la hora de intentar un diálogo sobre reglas ortográficas, títulos literarios y hasta suelen cometer el exabrupto de que “los de matemáticas no tenemos por qué encargarnos de corregir la ortografía o no tenemos que intervenir en la buena conformación del habla y la escritura de los alumnos”.

Estoy convencido de la íntima relación entre ambas disciplinas, comenzado por el hecho de que, tanto la lengua como las matemáticas, en primera instancia, son lenguajes, es decir, maneras de decir y contar las cosas que pasan en este mundo, tanto en la realidad concreta como en la imaginación.

Un contraejemplo de lo que planteamos es el escritor Jorge Luis Borges, exquisito del lenguaje y profundo conocedor de cuantiosos conceptos matemáticos, muchos de los cuales ha incorporado a sus incomparables ficciones. Aunque no es el único. A nivel internacional es paradigmático el caso de Lewis Carroll, más bien, Charles Lutwidge Dodgson, autor de Alicia en el país de las maravillas, obra en la que figuran con abundante frecuencia temas de matemática y física. No podía ser de otra manera, él era un gran matemático. También en la Argentina, actualmente sobresale la figura de un importante exponente de las letras, Guillermo Martínez, premio Nadal 2019 por su novela Los crímenes de Alicia. El bahiense también es uno de los matemáticos más destacados del país y ha utilizado numerosos conceptos de la disciplina para diagramar la trama de sus inquietantes novelas. 

El precursor en la Argentina en los estudios que buscan relaciones entre la obra de Borges con las matemáticas ha sido, justamente, el escritor Guillermo Martínez. Ha logrado extraer cuantiosos párrafos de la obra de Borges en los que este último ha explorado y utilizado conceptos matemáticos, más allá de que no nos indique explícitamente cuáles son esos temas, quedando ello a cargo del lector.

Alumbrado por la intervención de este escritor voy a tratar de hacer ver al lector de qué manera la matemática está presente en uno de los relatos más conocidos de Borges, “El Aleph”. Aunque también podemos encontrar referencias matemáticas en otros relatos tales como “El libro de Arena”, “El disco”, “La esfera de Pascal” y en muchos otros relatos reunidos dentro de su magnífico libro Ficciones

 En “El Aleph”, como muchos sabrán, los protagonistas son el mismo Borges, el poeta presuntuoso Carlos Argentino Daneri y, aunque muerta, la prima de este último, de la que Borges estaba enamorado: Beatriz Viterbo.

Me limito a hacer algunos comentarios acerca de los conceptos matemáticos que contiene para resaltar la información que el escritor poseía acerca de ellos. Al final del relato, Borges escribe: “Para la Mengenlehre, es el símbolo de los números transfinitos, en los que el todo no es mayor que alguna de las partes”. Mengenlehre es una palabra alemana que utilizó Cantor, un famoso matemático que se destacó por el estudio del infinito, para designar a los conjuntos de cantidades no definidas de objetos, que dio lugar a la teoría de conjuntos moderna. Borges se refiere al quiebre en la matemática que ocurrió en aquella época: antes los matemáticos utilizaban el símbolo ∞ para denotar al único infinito que conocían. A partir de Cantor se probó que había muchos infinitos con cardinales distintos y, justamente allí surge que, en ese campo, el todo no es mayor que alguna de sus partes.

Para que los lectores se hagan una idea de lo escrito anteriormente, podríamos tomar al conjunto de los números naturales, aquellos que se usan para contar naturalmente, el 1, el 2, el 3 y así sucesivamente. Este conjunto contiene infinitos números. Si ahora tomamos nada más que a los números naturales pares, es decir, descartamos a los impares, la lógica habitual nos invita a pensar que van a ser la mitad que todos los naturales. Sin embargo, los naturales pares también son infinitos. La misma lógica nos puede hacer decir: “pero bueno, serán infinitos, pero los naturales en su totalidad tienen que ser más en cantidad que sólo los pares, pues estos son la mitad”. He aquí lo curioso de las propiedades del infinito, si bien los pares son la mitad que la totalidad del conjunto de los naturales, en ambos conjuntos hay igual cantidad de infinitos números, es decir, infinito sobre dos, sigue siendo tan infinito que infinito sin dividir. Cuando un conjunto tiene estas características, es decir, en los que la parte tiene las mismas propiedades del todo, se dice que son conjuntos “transfinitos”.

El Aleph es una esfera de dos o tres centímetros de diámetro que guarda todas las imágenes del universo. Por consiguiente, el Aleph contiene una parte del universo que guarda al todo, concepto claro relacionado con los conjuntos infinitos.

En otro pasaje del cuento, Borges escribe: “Los místicos, en análogo trance prodigan los emblemas: para significar la divinidad, un persa habla de un pájaro que de algún modo es todos los pájaros”. En esta apreciación también se hace referencia a los conjuntos transfinitos. El individuo pájaro, al poseer las mismas propiedades que cualquiera de los incontables pájaros de esa especie, representa en uno a toda la especie. Aquí podemos recurrir a la famosa frase del físico norteamericano Richard Feynman, quien sentenció: “En el microcosmos que hay en una copa de vino puedo ver las propiedades de todo el universo”. También, como en el caso de Borges, es una recurrencia a las propiedades de los conjuntos transfinitos.

En otro fragmento de “El Aleph” Borges hace mención “de una esfera cuyo centro está en todas partes y la circunferencia en ninguna.” Tomemos un círculo en lugar de una esfera. Hago centro en cualquier punto del plano y trazo círculos con radios cada vez más grandes; con el aumento de esos radios, los círculos van ocupando toda la superficie del plano. Si el plano es infinito, el radio de la circunferencia será infinito. Si es así, no hay forma de poder saber en dónde se hallan los puntos de esa circunferencia, porque al ser el radio infinito jamás podría llegar hasta ella. En consecuencia, y en esas condiciones, cualquier punto que trace en el plano, será el centro de esa circunferencia. O sea que podemos imaginar al plano como un círculo de radio infinito. Si hacemos el mismo análisis con una esfera, el espacio sería una esfera de radio también infinito y cualquier punto del espacio sería el centro de esa esfera. Luego, leemos: 

Por lo demás, el problema central es irresoluble: la enumeración, siquiera parcial, de un conjunto infinito. En ese instante gigantesco, he visto millones de actos deleitables o atroces; ninguno me asombró como el hecho de que todos ocuparan el mismo punto, sin superposición y sin transparencia. Lo que vieron mis ojos fue simultáneo: lo que transcribiré sucesivo, porque el lenguaje lo es. Algo, sin embargo, recogeré.

Borges menciona la imposibilidad de describir el infinito con palabras ya que la transcripción es sucesiva y, por eso, no nos alcanzaría la vida. Finalmente, hay que tener en cuenta que la matemática en los cuentos borgeanos va imbricada con la filosofía, las religiones y el misticismo y, por supuesto, la literatura. 

Además, si bien el Aleph es una esfera de unos dos o tres centímetros de diámetro, se podría recorrer el camino inverso al que proponía con la ampliación del radio de la esfera, es decir, achicarlo infinitamente hasta casi convertir a el Aleph en un punto. También ese nuevo objeto, ahora infinitamente pequeño, contendría todas las propiedades del Universo, con todos sus espacios y tiempos, con todas sus infinitas historias, todo ello reducido a un punto. 

Publicado el 6/8/2022

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